Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej. Część 1

• Kategorie:
  1. Ebooki i Audiobooki »
  2. Czasopisma naukowe
  1. Ebooki i Audiobooki »
  2. Matematyka
• Redakcja: Elżbieta Kot
• Język wydania: polski
• ISBN: 978-83-7586-099-3
• ISBN druku: 978-83-7586-033-7
• Liczba stron: 356
• Sposób dostarczenia produktu elektronicznego
  Produkty elektroniczne takie jak Ebooki czy Audiobooki są udostępniane online po uprzednim opłaceniu (PayU, BLIK) na stronie Twoje konto > Biblioteka.

  Pliki można pobrać zazwyczaj w ciągu kilku-kilkunastu minut po uzyskaniu poprawnej autoryzacji płatności, choć w przypadku niektórych publikacji elektronicznych czas oczekiwania może być nieco dłuższy.

  Sprzedaż terytorialna towarów elektronicznych jest regulowana wyłącznie ograniczeniami terytorialnymi licencji konkretnych produktów.
• Ważne informacje techniczne
• Minimalne wymagania sprzętowe:
  • procesor: architektura x86 1GHz lub odpowiedniki w pozostałych architekturach
  • Pamięć operacyjna: 512MB
  • Monitor i karta graficzna: zgodny ze standardem XGA, minimalna rozdzielczość 1024x768 16bit
  • Dysk twardy: dowolny obsługujący system operacyjny z minimalnie 100MB wolnego miejsca
  • Mysz lub inny manipulator + klawiatura
  • Karta sieciowa/modem: umożliwiająca dostęp do sieci Internet z prędkością 512kb/s
• Minimalne wymagania oprogramowania:
  • System Operacyjny: System MS Windows 95 i wyżej, Linux z X.ORG, MacOS 9 lub wyżej, najnowsze systemy mobilne: Android, iPhone, SymbianOS, Windows Mobile
  • Przeglądarka internetowa: Internet Explorer 7 lub wyżej, Opera 9 i wyżej, FireFox 2 i wyżej, Chrome 1.0 i wyżej, Safari 5
  • Przeglądarka z obsługą ciasteczek i włączoną obsługą JavaScript
  • Zalecany plugin Flash Player w wersji 10.0 lub wyżej.
• Informacja o formatach plików:
  • PDF - format polecany do czytania na laptopach oraz komputerach stacjonarnych.
  • EPUB - format pliku, który umożliwia czytanie książek elektronicznych na urządzeniach z mniejszymi ekranami (np. e-czytnik lub smartfon), dając możliwość dopasowania tekstu do wielkości urządzenia i preferencji użytkownika.
  • MOBI - format zapisu firmy Mobipocket, który można pobrać na dowolne urządzenie elektroniczne (np.e-czytnik Kindle) z zainstalowanym programem (np. MobiPocket Reader) pozwalającym czytać pliki MOBI.
  • Audiobooki w formacie MP3 - format pliku, przeznaczony do odsłuchu nagrań audio.
• Rodzaje zabezpieczeń plików:
  • Watermark - (znak wodny) to zaszyfrowana informacja o użytkowniku, który zakupił produkt. Dzięki temu łatwo jest zidentyfikować użytkownika, który rozpowszechnił produkt w sposób niezgodny z prawem.
  • Brak zabezpieczenia - część oferowanych w naszym sklepie plików nie posiada zabezpieczeń. Zazwyczaj tego typu pliki można pobierać ograniczoną ilość razy, określaną przez dostawcę publikacji elektronicznych. W przypadku zbyt dużej ilości pobrań plików na stronie WWW pojawia się stosowny komunikat.

  Więcej informacji o publikacjach elektronicznych

Przedmowa 7
Oznaczenia 9
1 Badamy zbiory i relacje 11
1.1 Wykazujemy proste tożsamości . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Znajdujemy zbiory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Znajdujemy kresy zbiorów liczbowych . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Sprawdzamy, czy R jest relacją równoważności, szukamy klas
abstrakcji i sporządzamy wykres . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Badamy podstawowe własności funkcji 39
2.1 Szukamy zbioru wartości i poziomic . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Sprawdzamy, czy funkcja jest injekcją, surjekcją lub bijekcją,
oraz szukamy odwzorowań odwrotnych . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Znajdujemy obrazy i przeciwobrazy zbiorów . . . . . . . . . . 52
2.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Definiujemy odległość w zbiorach 58
3.1 Badamy, czy podana funkcja jest metryką . . . . . . . . . . . 58
3.2 Rysujemy kulę i odcinek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Wykorzystujemy indukcję matematyczną 70
4.1 Dowodzimy podzielności liczb i wielomianów . . . . . . . . . 70
4.2 Wykazujemy równania i nierówności . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Dowodzimy kilku ważnych wzorów . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Badamy zbieżność i szukamy granic ciągów 94
5.1 Kilka typowych „chwytów” przydatnych przy obliczaniu granic
ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Wykorzystujemy różne kryteria . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Badamy ciąg rekurencyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4 Gdy ciąg oscyluje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5 Dowodzimy rozbieżności ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Zbiory otwarte, domknięte, zwarte 135
6.1 Badamy otwartość i domkniętość . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Badamy zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Znajdujemy granice funkcji 146
7.1 Kilka typowych „chwytów” stosowanych przy obliczaniu granic
funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2 Stosujemy podstawienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8 Badamy ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji 161
8.1 Wykazujemy ciągłość funkcji metodami Heinego i Cauchy’ego 161
8.2 Badamy funkcję w punktach „sklejenia” . . . . . . . . . . . . 166
8.3 Badamy, czy funkcja jest jednostajnie ciągła . . . . . . . . . . 177
8.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9 Funkcje różniczkowalne 184
9.1 Obliczamy pochodną funkcji z definicji . . . . . . . . . . . . . 184
9.2 Badamy różniczkowalność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10 Różniczkujemy funkcje 194
10.1 Znajdujemy pochodną funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . 194
10.2 Rozwiązujemy kilka złożonych problemów . . . . . . . . . . . 198
10.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11 Wykorzystujemy pochodną do badania niektórych własności
funkcji 203
11.1 Wykazujemy tożsamości i nierówności . . . . . . . . . . . . . 203
11.2 Korzystamy z twierdzeń Rolle’a i Lagrange’a . . . . . . . . . 210
11.3 Badamy krzywe na płaszczyźnie — styczność, kąty przecięcia 214
11.4 Obliczamy granice metodą de l’Hospitala . . . . . . . . . . . 222
11.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
12 Wyższe pochodne i wzór Taylora 233
12.1 Wykazujemy formuły na pochodne wyższych rzędów metodą
indukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.2 Rozwijamy funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.3 Wykorzystujemy wzór Taylora do obliczania granic funkcji . . 245
12.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13 Szukamy ekstremów i badamy przebieg funkcji 251
13.1 Znajdujemy najmniejszą i największą wartość funkcji na da-
nym zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
13.2 Badamy funkcję od A do Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
13.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
14 Badamy zbieżność szeregów 267
14.1 Stosujemy oszacowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
14.2 Wykorzystujemy różne kryteria . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
14.3 Rozwiązujemy kilka ciekawych problemów . . . . . . . . . . . 286
14.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
15 Obliczamy całki nieoznaczone 294
15.1 Całkujemy przez części i przez podstawienie . . . . . . . . . . 294
15.2 Stosujemy metodę wzorów rekurencyjnych . . . . . . . . . . . 307
15.3 Całkujemy funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
15.4 Całkujemy funkcje wymierne od funkcji trygonometrycznych 318
15.5 Wykorzystujemy podstawienia Eulera . . . . . . . . . . . . . 322
15.6 Wykorzystujemy podstawienia hiperboliczne i trygonometrycz-
ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.7 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
16 Zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych 334
16.1 Znajdujemy granicę ciągu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 334
16.2 Badamy zbieżność jednostajną ciągu funkcji . . . . . . . . . . 338
16.3 Badamy zbieżność jednostajną szeregu funkcji . . . . . . . . . 344
16.4 Znajdujemy sumy szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
16.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355