Wstęp do mechaniki kwantowej
„Można śmiało powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej” - zauważył Richard Feynman. I zapewne nie jest to przesadzone stwierdzenie. Teoria kwantowa jest nie tylko bogata koncepcyjnie, ale również trudna technicznie. Oznacza gwałtowne i rewolucyjne odejście od klasycznych idei i przywołanie zupełnie nowego i radykalnie sprzecznego z intuicją sposobu myślenia o świecie. To jednak sprawia, że jest to tak fascynującą dziedziną.
Celem tej książki jest nauczenie Czytelnika, jak „zajmować się” mechaniką kwantową. Może być śmiało stosowana jako podręcznik na przedmiotach związanych z mechaniką kwantową. Część I obejmuje podstawowy teoretyczne, w części II zawarto zbiór schematów aproksymacji z przykładowymi zastosowaniami.
Przedmowa XI
Część I. Teoria 1
1 Funkcja falowa 3
1.1 Równanie Schrödingera 3
1.2 Interpretacja statystyczna 4
1.3 Prawdopodobieństwo 8
1.3.1 Zmienne dyskretne 8
1.3.2 Zmienne ciągłe 12
1.4 Normalizacja 15
1.5 Pęd 17
1.6 Zasada nieoznaczoności 20
Dodatkowe zadania do rozdziału 1 22
2 Niezależne od czasu równanie Schrödingera 27
2.1 Stany ustalone 27
2.2 Nieskończona kwadratowa studnia kwantowa 33
2.3 Oscylator harmoniczny 42
2.3.1 Metoda algebraiczna 44
2.3.2 Metoda analityczna 51
2.4 Cząstka swobodna 59
2.5 Studnia potencjału w kształcie funkcji delta 66
2.5.1 Stany związane i stany rozproszeniowe 66
2.5.2 Studnia potencjału w kształcie funkcji delta Diraca 68
2.6 Skończona kwadratowa studnia potencjału 75
Dodatkowe zadania do rozdziału 2 82
3 Formalizm 97
3.1 Przestrzeń Hilberta 97
3.2 Obserwable 100
3.2.1 Operatory hermitowskie 100
3.2.2 Stany zdeterminowane 102
3.3 Funkcje własne operatora hermitowskiego 104
3.3.1 Widma dyskretne 104
3.3.2 Widmo ciągłe 106
3.4 Uogólniona interpretacja statystyczna 109
3.5 Zasada nieoznaczoności 112
3.5.1 Dowód ogólnej zasady nieoznaczoności 112
3.5.2 Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności 115
3.5.3 Zasada nieoznaczoności energii-czasu 116
3.6 Wektory i operatory 121
3.6.1 Bazy w przestrzeni Hilberta 121
3.6.2 Notacja Diraca 125
3.6.3 Zmiana bazy w notacji Diraca 129
Dodatkowe zadania do rozdziału 3 131
4 Mechanika kwantowa w trzech wymiarach 139
4.1 Równanie Schrödingera 139
4.1.1 Współrzędne sferyczne 141
4.1.2 Równanie kątowe 142
4.1.3 Równanie radialne 147
4.2 Atom wodoru 151
4.2.1 Radialna funkcja falowa 152
4.2.2 Widmo wodoru 164
4.3 Moment pędu 166
4.3.1 Wartości własne 166
4.3.2 Funkcje własne 172
4.4 Spin 175
4.4.1 Spin 1/2 177
4.4.2 Elektron w polu magnetycznym 182
4.4.3 Dodawanie momentów pędu 186
4.5 Oddziaływania elektromagnetyczne 191
4.5.1 Minimalne sprzężenie 191
4.5.2 Efekt Aharonova–Bohma 193
Dodatkowe zadania do rozdziału 4 197
5 Identyczne cząstki 209
5.1 Systemy dwucząstkowe 209
5.1.1 Bozony i fermiony 212
5.1.2 Siły wymiany 214
5.1.3 Spin 217
5.1.4 Uogólniona zasada symetryzacji 218
5.2 Atomy 221
5.2.1 Hel 222
5.2.2 Układ okresowy 225
5.3 Ciała stałe 228
5.3.1 Gaz elektronów swobodnych 229
5.3.2 Struktura pasmowa 233
Dodatkowe zadania do rozdziału 5 239
6 Symetrie i prawa zachowania 245
6.1 Wstęp 245
6.1.1 Transformacja w przestrzeni 246
6.2 Operator translacji 248
6.2.1 Jak działa operator translacji 249
6.2.2 Symetria translacyjna 252
6.3 Prawa zachowania 256
6.4 Parzystość 257
6.4.1 Parzystość w jednym wymiarze 257
6.4.2 Parzystość w trzech wymiarach 259
6.4.3 Reguły wyboru parzystości 261
6.5 Symetria obrotowa 262
6.5.1 Obrót wokół osi z 262
6.5.2 Obroty w trzech wymiarach 264
6.6 Degeneracja 267
6.7 Reguły wyboru obrotów 270
6.7.1 Reguły wyboru dla operatorów skalarnych 270
6.7.2 Zasady wyboru dla operatorów wektorowych 273
6.8 Translacja w czasie 278
6.8.1 Obraz Heisenberga 279
6.8.2 Niezmienność translacji w czasie 282
Dodatkowe zadania do rozdziału 6 284
Część II. Zastosowania 293
7 Rachunek zaburzeń zależnych od czasu 295
7.1 Rachunek zaburzeń bez degeneracji 295
7.1.1 Ogólne sformułowanie 295
7.1.2 Rachunek pierwszego rzędu 297
7.1.3 Energie drugiego rzędu 301
7.2 Rachunek zaburzeń z degeneracją 303
7.2.1 Podwójna degeneracja 303
7.2.2 „Dobre” stany 309
7.2.3 Degeneracja wyższego rzędu 311
7.3 Struktura subtelna wodoru 313
7.3.1 Korekta relatywistyczna 314
7.3.2 Sprzężenie spinowo-orbitalne 317
7.4 Efekt Zeemana 322
7.4.1 Efekt Zeemana w słabym polu 323
7.4.2 Efekt Zeemana w silnym polu 326
7.4.3 Efekt Zeemana w średnim polu 327
7.5 Rozszczepienie nadsubtelne dla wodoru 329
Dodatkowe zadania do rozdziału 7 332
8 Zasada wariacyjna 347
8.1 Teoria 347
8.2 Stan podstawowy helu 353
8.3 Jon wodoru cząsteczkowego 357
8.4 Cząsteczka wodoru 362
Dodatkowe zadania do rozdziału 8 368
9 Przybliżenie WKB 377
9.1 Obszar „klasyczny” 378
9.2 Zjawisko tunelowania 382
9.3 Warunki zszycia 387
Dodatkowe zadania do rozdziału 9 395
10 Rozpraszanie 401
10.1 Wstęp 401
10.1.1 Klasyczna teoria rozpraszania 401
10.1.2 Kwantowa teoria rozpraszania 404
10.2 Analiza fal składowych 406
10.2.1 Formalizm 406
10.2.2 Strategia 409
10.3 Przesunięcia fazowe 411
10.4 Przybliżenie Borna 414
10.4.1 Całkowa postać równania Schrödingera 414
10.4.2 Pierwsze przybliżenie Borna 418
10.4.3 Szeregi Borna 422
Dodatkowe zadania do rozdziału 10 423
11 Dynamika kwantowa 429
11.1 Układy dwustanowe 430
11.1.1 Układ zaburzony 431
11.1.2 Rachunek zaburzeń zależny od czasu 433
11.1.3 Zaburzenia sinosuidalne 436
11.2 Emisja i absorpcja promieniowania 439
11.2.1 Fale elektromagnetyczne 439
11.2.2 Pochłanianie, emisja wymuszona i emisja spontaniczna 440
11.2.3 Zaburzenia niekoherentne 442
11.3 Emisja spontaniczna 445
11.3.1 Współczynniki A i B Einsteina 445
11.3.2 Czas życia stanu wzbudzonego 447
11.3.3 Reguły wyboru 449
11.4 Złota reguła Fermiego 451
11.5 Przybliżenie adiabatyczne 456
11.5.1 Proces adiabatyczny 456
11.5.2 Twierdzenie adiabatyczne 458
Dodatkowe zadania do rozdziału 11 463
12 Posłowie 477
12.1 Paradoks EPR 478
12.2 Twierdzenie Bella 480
12.3 Stany mieszane i macierz gęstości 486
12.3.1 Stany czyste 486
12.3.2 Stany mieszane 488
12.3.3 Podsystemy 490
12.4 Twierdzenie o nieklonowaniu 491
12.5 Kot Schrödingera 493
Dodatek Algebra liniowa 497
A.1 Wektory 497
A.2 Iloczyn wewnętrzny 500
A.3 Macierze 501
A.4 Zmiana bazy 507
A.5 Wektory własne i wartości własne 509
A.6 Transformacje hermitowskie 516