Symetria w fizyce materii

Autor wprowadza Czytelnika w podstawowe pojęcia teorii grup – języka, którym posługują się badacze fizyki cząsteczek oraz fizyki ciała stałego. Pierwsza część książki poświęcona jest ogólnym właściwościom izometrii w dwóch i trzech wymiarach, przekształceniom symetrii obiektów płaskich i przestrzennych oraz najprostszym zastosowaniom właściwości symetrii do zagadnień fizycznych; pojawia się tu także pojęcie grupy przekształceń. W części drugiej Autor omawia ogólne właściwości macierzy izometrii w dwóch i trzech wymiarach, macierze przekształceń symetrii w dwóch i trzech wymiarach oraz proste przykłady ich zastosowań fizycznych, a także pojęcie reprezentacji macierzowej grupy symetrii. W trzeciej części wprowadzono pojęcie reprezentacji macierzowej grupy na prostym przykładzie fal stojących na membranie kwadratowej; omówiono też inne przykłady reprezentacji grup oraz proste ich zastosowania do zagadnień mechaniki klasycznej i mechaniki kwantowej. Książka napisana jest jasnym, klarownym językiem i opatrzona licznymi ilustracjami, szczegółowo przedstawiającymi omawiane zagadnienia. Na stronie http://www.wuw.pl/product-pol-5998 Czytelnik znajdzie cykl prezentacji ściśle powiązanych z poruszanymi w niej problemami. Symetria w fizyce materii to lektura uzupełniająca dla studentów pierwszych lat uniwersyteckich wydziałów fizyki i chemii oraz niektórych wydziałów politechnik (elektronika, technologia materiałowa). Pierwsza część książki może być przydatna licealistom uczestniczącym w zajęciach kół fizycznych i ich nauczycielom, a także uczestnikom olimpiady fizycznej. Introduction of the language used by the particle physics and solid state physics researchers into the basic concepts of group theory. The author discussed the general properties of isometry and isometry matrices in two and three dimensions, and presented the simple examples of their applications to physics problems. He also introduced the concept of matrix group representation into description of the classical mechanics and quantum mechanics issues.

Spis treści

Przedmowa 11 Wstęp 15 Część I. W świecie geometrii elementarnej 1. Izometrie w dwóch wymiarach 21 1.1. Wstęp 21 1.2. Izometrie w dwóch wymiarach w geometrii elementarnej 22 1.3. Składanie izometrii 24 1.4. Wynik złożenia izometrii w dwóch wymiarach 28 1.5. Izometrie sprzężone 28 1.6. Przekształcanie wektora 30 1.7. Iloczyn skalarny 32 1.8. Przekształcanie funkcji 32 2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach 35 2.1. Symetrie fi gur płaskich 35 2.2. Symetria kwadratu 36 2.3. Składanie operacji symetrii 38 2.4. Tabela grupowa 40 2.5. Grupa przekształceń 41 2.6. Psujemy kwadrat, czyli przykłady podgrup 42 2.7. Symetrie wielokątów foremnych o parzystej liczbie boków 46 2.8. Symetria trójkąta równobocznego 46 2.9. Układy o symetrii obrotowej bez odbić 47 2.10. Symetrie sprzężone 48 2.11. Klasy elementów sprzężonych 50 3. Symetria obrazów dyfrakcyjnych 52 3.1. Symetria obrazów dyfrakcji światła na otworach 52 3.2. Wyniki doświadczenia dla otworu kwadratowego 52 3.3. Dyfrakcja w granicy Fraunhofera 53 3.4. Opis dyfrakcji na otworze kwadratowym w granicy Fraunhofera 56 3.5. Wyniki doświadczenia dla otworu trójkątnego 57 3.6. Symetria obrazu dla otworu trójkątnego w granicy Fraunhofera 58 3.7. Iloczyn prosty grup 60 3.8. Opis dyfrakcji na otworze trójkątnym w granicy Fraunhofera 61 3.9. Symetria obrazów dyfrakcyjnych siatek płaskich 62 4. Izometrie w trzech wymiarach 64 4.1. Izometrie w trzech wymiarach: obrót, odbicie, inwersja 64 4.2. Składanie izometrii w trzech wymiarach 67 4.3. Izometrie w trzech wymiarach: obroty zwierciadlane i obroty inwersyjne 70 4.4. Wynik złożenia izometrii w trzech wymiarach 73 4.5. Złożenie odbicia i obrotu 76 4.6. Izometrie sprzężone 77 4.7. Przekształcenia wektorów 81 4.8. Przekształcenia funkcji 83 4.9. Pseudowektory 84 4.10. Transformacje pseudowektorów 86 5. Symetrie w trzech wymiarach 89 5.1. Symetrie w trzech wymiarach 89 5.2. Symetrie sześcianu 90 5.3. Symetria ośmiościanu i kubooktaedru 94 5.4. Grafi czne przedstawianie układów atomów 94 5.5. Układy atomów o symetrii sześcianu lub ośmiościanu 95 5.6. Składanie symetrii i symetrie sprzężone 96 5.7. Psujemy sześcian. Prostopadłościan o podstawie kwadratowej 97 5.8. Psujemy sześcian. Prostopadłościan dowolny 99 5.9. Psujemy sześcian. Romboedr 100 5.10. Symetrie czworościanu 100 5.11. Symetrie wybranych układów atomów 103 6. Momenty dipolowe 106 6.1. Rozważania wstępne, pole układu ładunków o symetrii sferycznej 106 6.2. Elektryczny moment dipolowy 108 6.3. Elektryczny moment dipolowy cząsteczek 111 6.4. Elektryczny moment dipolowy a symetria układu 114 6.5. Niezmienniczość wektora 118 6.6. Przekształcanie funkcji a moment dipolowy 120 6.7. Magnetyczny moment dipolowy 120 6.8. Moment magnetyczny w mikroświecie 122 6.9. Magnetyczny moment dipolowy a symetria układu 125 7. Grupy przekształceń 128 7.1. Wstęp 128 7.2. Grupy symetrii 128 7.3. Dygresja: inne grupy 130 7.4. Generatory grupy 132 7.5. Podgrupy 134 7.6. Twierdzenie Lagrange’a 136 7.7. Klasy elementów sprzężonych 139 7.8. Podgrupy niezmiennicze 141 Część II. W świecie geometrii analitycznej 8. Macierze izometrii w dwóch wymiarach 147 8.1. Macierzowy zapis wektorów 147 8.2. Iloczyn skalarny 148 8.3. Macierze izometrii w dwóch wymiarach 149 8.4. Macierze obrotów w dwóch wymiarach 150 8.5. Transformacja wektorów bazy przy obrocie 153 8.6. Macierze odbić w dwóch wymiarach 156 8.7. Transformacja wektorów bazy przy odbiciu 159 8.8. Składanie macierzy izometrii 160 8.9. Przykłady składania izometrii w dwóch wymiarach 160 8.10. Macierze odwrotne 162 8.11. Przekształcanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9. Ogólne własności macierzy izometrii w dwóch wymiarach . . . . . . . . . . . . . . 167 9.1. Zachowanie długości wektorów, macierze ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.2. Macierze izometrii sprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.3. Zmiana układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.4. Sens współczynników qnm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.5. Transformacja współrzędnych przy obrocie i odbiciu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.6. Odwrotna transformacja współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.7. Transformacja wektorów bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.8. Transformacja macierzy izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.9. Niezmienniki zmiany współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.10. Transformacja funkcji przy zmianie układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . 181 10. Macierze symetrii w dwóch wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.1. Macierze przekształceń symetrii kwadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2. Grupy macierzowe przekształceń symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3. Reprezentacje macierzowe grup przekształceń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4. Symetrie prostokąta i rombu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.5. Reprezentacje równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.6. Symetrie trójkąta równobocznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.7. Przekształcanie funkcji typu p pod wpływem operacji symetrii kwadratu . . . . . . 193 10.8. Przekształcanie funkcji typu d pod wpływem operacji grupy kwadratu . . . . . . . . 195 10.9. Przekształcanie funkcji typu d pod wpływem operacji symetrii grupy ośmiokąta . . 198 11. Macierze izometrii w trzech wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.1. Transformacje wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.2. Składanie macierzy izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 11.3. Ogólne własności macierzy izometrii w trzech wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4. Obrót w trzech wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 11.5. Ślad macierzy izometrii sprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.6. Odbicie w trzech wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.7. Inwersja i obroty inwersyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.8. Macierze transformacji pseudowektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.9. Wyznacznik i ślad macierzy transformacji pseudowektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 12. Macierze symetrii w trzech wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12.1. Macierze symetrii grupy sześcianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12.2. Macierze symetrii prostopadłościanu ogólnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 12.3. Macierze symetrii ostrosłupa o podstawie trójkątnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 12.4. Popsuty sześcian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 12.5. Macierze transformacji wektora i pseudowektora pod wpływem operacji grupy symetrii ostrosłupa o podstawie prostokątnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 13. Macierze przekształceń w zastosowaniach fi zycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.1. Elektryczny moment dipolowy cząsteczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 13.2. Indukowany elektryczny moment dipolowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 13.3. Symetria tensora polaryzowalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 13.4. Przykład 1. Symetria obrotowa wokół osi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 13.5. Przykład 2. Symetria prostopadłościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 13.6. Przykład 3. Symetria czworościanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 13.7. Przykład makroskopowy: kula przewodząca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 13.8. Przykład makroskopowy: obrotowa elipsoida przewodząca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 13.9. Przykłady mikroskopowe: półklasyczny model atomu wodoru . . . . . . . . . . . . . . . 246 13.10. Polaryzowalność atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 13.11. Polaryzowalność cząsteczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 13.12. Tensor bezwładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Część III. W świecie reprezentacji 14. Drgania membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 14.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 14.2. Dwuwymiarowe klasyczne równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 14.3. Zmiana układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 14.4. Fale na membranie kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 14.5. Formalny opis fal na membranie kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 14.6. Przerabiamy uzyskane wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 14.7. Wstępne rozważania dotyczące symetrii funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . 273 14.8. Mody zdegenerowane 21 i 12, funkcje rzeczywiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 14.9. Mody zdegenerowane 21 i 12, funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 14.10. Różne wybory bazy rozwiązań równania falowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 14.11. Degeneracje przypadkowe, n i m nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 14.12. Degeneracje przypadkowe, n i m parzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 14.13. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 15. Reprezentacje grupy kwadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 15.1. Macierzowa reprezentacja grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 15.2. Reprezentacje grupy kwadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 15.3. Reprezentacje równoważne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 15.4. Reprezentacje równoważne grupy kwadratu. Macierze rzeczywiste . . . . . . . 302 15.5. Reprezentacje równoważne grupy kwadratu. Macierze zespolone . . . . . . . . 305 15.6. Macierze ortogonalne, macierze unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 15.7. Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 16. Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 16.1. Co już wiemy o reprezentacjach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 16.2. Własności symetrii rozwiązań równania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 16.3. Operator Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 16.4. Niezmienniki reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 16.5. Charaktery operacji symetrii należących do tej samej klasy . . . . . . . . . . . . . 323 16.6. Reprezentacja regularna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 16.7. Przykład reprezentacji regularnej, grupa symetrii prostokąta . . . . . . . . . . . . 325 16.8. Przykład reprezentacji regularnej, grupa symetrii kwadratu . . . . . . . . . . . . . 328 17. Relacje ortogonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 17.1. Pytania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 17.2. Sformułowanie relacji ortogonalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 17.3. Liczba nieprzywiedlnych reprezentacji jest skończona . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 17.4. Ile nieprzywiedlnych reprezentacji ma grupa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 17.5. Kryteria przywiedlności reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 18. Małe drgania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 18.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 18.2. Dwie masy na gumce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 18.3. Inne spojrzenia na problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 18.4. Energia potencjalna układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 18.5. Spojrzenie trochę ogólniejsze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 18.6. Układ 4 mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 18.7. Układ 4 mas o symetrii kwadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 18.8. Układ 8 mas o symetrii kwadratu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 18.9. Drgania cząsteczek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 19. Symetria związanych stanów elektronowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.1. Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.2. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.3. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału, degeneracje przypadkowe . 365 19.4. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału, konsekwencje degeneracji wynikających z symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 19.5. Gęstość prądu prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 19.6. Metoda LCAO, cząsteczka wodoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 19.7. Cząsteczka czteroatomowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 19.8. Znoszenie degeneracji stanów atomowych przez zaburzenie zewnętrzne, model dwuwymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 19.9. Znoszenie degeneracji stanów atomowych przez zaburzenie zewnętrzne . . 383 A. Jednostki układu CGSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 B. Izometria w dwóch wymiarach jest albo obrotem, albo odbiciem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 C. Izometria w trzech wymiarach jest albo obrotem, albo obrotem inwersyjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 D. Tensor polaryzowalności jest symetryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 E. Dwuwymiarowe klasyczne równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Źródła fotografi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409